Trabalho de Matemática - Janeide ( 2° ano - I ) - Teorema de Tales

 Grupo: Caio Enrique, Charles Souza, Esdras Santos, Humberto Alencar, José Alves e Zeus Lima 

 Série: 2° ano - I

   Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam a Terra estavam na posição inclinada e era paralelo, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra.

Demonstração :

“Feixes de retas paralelas cortadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Pela proporção existente no Teorema, temos a situação:

Exemplo 1 :
Aplique o Teorema de Tales e calcule o valor de x.

6.(2x-3) = 5(x+2)
12x – 18 = 5x + 10
12x – 5x = 10 + 18
7x = 28
x = 28/7
x = 4

Exemplo 2 :

Calcule o comprimento da ponte que deverá ser construída sobre o rio, de acordo com o esquema a seguir.

De acordo com a figura temos um triângulo ABC e o segmento DE dividindo o triângulo, sendo formado o triângulo ADE. As informações que temos são as medidas dos seguintes segmentos: AD = 10m, AE = 9m, EC = 18m e DB = x. O valor de DB será determinado através do Teorema de Tales que diz: “retas paralelas cortadas por segmentos transversais formam segmentos proporcionais.” Desse modo, podemos estabelecer a seguinte relação:

A ponte terá 20 metros de comprimento. 

Exemplo 3 :

Determine o valor de x na figura.

Exemplo 4 :

Calcule o valor de x na ilustração abaixo:

4x = 15
x = 15/4
x = 3,75

Exemplo 5 :

Determine o valor de x na figura a seguir:

Demonstração :

Sejam B’ e C’ pontos dos lados AB e AC, respectivamente, do triângulo ABC.  Se B’C’ for paralelo a BC, então :

AB’/AB = AC’/AC.

Demonstração

Se B’C’ é paralelo a BC, então os triângulos B’C'B e B’C'C tem mesma área porque possuem mesma base B’C’ e alturas relativas a essa base também iguais. Acrescentando a esses triângulos o triângulo AB’C', concluímos que os triângulos ABC’ e AB’C também possuem mesma área. Se dois triângulos possuem mesma altura ( h1 é altura relativa à base AB’ do triângulo AB’C’ e relativa à base AB  do triângulo ABC’ ; h2 é altura relativa à base AC do triângulo AB’C e relativa à base AC’ do triângulo AB’C'), então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases, logo,
AB’/AB = Área (AB’C')/ Área(ABC’) = Área(AB’C')/Área ( AB’C) = AC’/AC o que prova o teorema.